Родился 22 мая 1918 года в крестьянской семье. До призыва в ряды Советской Армии жил с родителями, учился, работал. В 1939 году был призван в ряды Советской Армии. Службу проходил в различных званиях и должностях.

Николай Андреевич участвовал в боевых действиях на Московском фронте ПВО в должности заместителя командира батареи. Также участвовал в войне с Японией на Забайкальско-Амурском фронте ПВО в должности командира батареи, и был награжден орденом Красной Звезды и множеством медалей. Звание подполковника Зелинскому Н.А. было присвоено 14 апреля 1956 года. В 1961 году он был уволен из рядов Советской Армии по болезни.